Comparaison d'intervalles flous pour la programmation multi-objectifs dans l'incertain

Depuis plusieurs années, on considère que les deux sources d'incertitude principales sont le manque d'informations et la variabilité des phénomènes. On modélise alors les informations soit par des distributions de probabilité (informations aléatoires) soit par des ensembles flous (informations incomplètes). Dans pas mal de situations, les deux sources d'incertitude peuvent se trouver combinées. Les variables aléatoires floues proposent un bon formalisme pour cette combinaison. Ces dernières années, des travaux ont été réalisés dans la prise en compte simultanée du flou et de l'aléa en programmation mathématique. Ce travail s'évertue à faire avancer l'état de l'art dans ce domaine en proposant des résultats concernant les variables aléatoires floues dans le but de développer des approches pour la résolution d'un programme linéaire multi-objectif s en présence de ces dernières. On a alors, en premier lieu, étendu aux variables aléatoires floues, deux concepts connus en théorie de la décision, à savoir la dominance stochastique et la préférence statistique en les combinant avec des méthodes de comparaison d'intervalles flous, ces dernières généralisant les ordres d'intervalles. On a envisagé trois façons de comparer les intervalles flous : vus comme des distributions de possibilité ordinales, comme intervalles graduels ou comme intervalles aléatoires consonants. On a, en second lieu, généralisé conjointement, aux variables aléatoires floues, les deux variantes du "chance constrained programming", l'une avec des coefficients flous due à Dubois, l'autre avec des coefficients aléatoires due à Charnes et Cooper selon trois versions : (i) en combinant probabilité et possibilité, ou probabilité et nécessité (version 1) ; (ii) en combinant probabilité et indices scalaires de comparaison de quantités floues (version 2) ; et (iii) en combinant "chance-constrained programming" et comparaisons d'intervalles aléatoires (un intervalle flou peut être vu comme un intervalle aléatoire) (version 3). Dans le cas où les coefficients des contraintes sont purement flous ou purement aléatoires, se réduit à "chance constrained programming" avec des coefficients flous ou "chance constrained programming" avec des coefficients aléatoires. Cette généralisation permet de développer des approches pour la programmation linéaire multi-objectifs en présence de variables aléatoires floues normales au sens de Shapiro, discrètes, normales de type L-R ou discrètes de type L-R. On a, ensuite, établi les conditions de convexité des ensembles des solutions admissibles résultant de l'application de cette méthode à des contraintes floues stochastiques. C'est en quelque sorte une extension aux variables floues des conditions de convexité des ensembles des solutions admissibles résultant de l'application de "chance constrained programming" due à Charnes et Cooper en programmation linéaire stochastique. Et en fiin on a considéré des programmes linéaires multi-objectifs en présence de variables aléatoires floues discrètes, normales au sens de Shapiro, discrètes de type L-R ou normales de type L-R, on distingue quatre cas, selon que les coefficients des objectifs sont déterministes, flous, aléatoires ou flous aléatoires. Pour la résolution, on peut appliquer pour tous les cas, "chance constrained programming" avec des coefficients flous aléatoires. Ou combiner selon le cas considéré, les techniques de la programmation linéaire multi-objectifs déterministe, floue ou stochastique entre elles ou avec "chance constrained programming" avec des coefficients flous aléatoires.In the recent years, it has been acknowledged that the two principal sources of uncertainty are the lack of information and the variability of phenomena. Then, one represents the information by probability distributions (random information ) or by fuzzy sets (incomplete information). In quite a lot of situations, both sources of uncertainty can be combined. Fuzzy random variables propose a good formalism for this combination. These last years, works were realized in the simultaneous consideration of the fuzziness and the randomness in mathematical programming. This work makes every effort to advance the state of the art in this domain by proposing results concerning the comparison of fuzzy random variables with the aim in developing approaches for the resolution of multiobjective linear programming problem in the presence of fuzzy random variables. Then, firstly, one extends to fuzzy random variables two concepts known in decision theory, namely stochastic dominance and statistical preference, by combining them with methods of comparison of fuzzy intervals which generalize interval orders. One has envisaged three manners to compare fuzzy intervals : viewed as ordinal possibilty distributions, as gradual intervals or as consonant random intervals. One has, secondly, generalized jointly, to fuzzy random variables, the two variants of chance constrained programming, the one with fuzzy coefficients due to Dubois, the other with random coefficients due to Charnes and Cooper, according to three versions :(i) bycombining probability and possibility, or probability and necessity (version 1) ; (ii) by combining probability and scalar indices for comparing fuzzy quantities (version 2) ; and (iii) by combining chance-constrained programming and random interval comparisons (a fuzzy interval can be viewed as a random interval) (version 3). In the case where the coefficients of constraints are purely fuzzy or purely random, chance constrained programming with fuzzy random coefficients reduces to chance constrained programming with fuzzy coefficients or to chance constrained programming with random coefficients. This generalization allows to develop approaches for solving multiobjective linear programming problem in presence of fuzzy random variables, which can be normal as defined by Shapiro, discrete, normal of type L-R, or discrete of type L-R. One has, thereafter, established the conditions of convexity of the set of feasible solutions resulting from the application of this method to fuzzy stochastic constraints. It is in a way, an extension, to fuzzy random variables, of the conditions of convexity of the set of feasible solutions resulting from the application of chance constrained programming due to Charnes and Cooper in stochastic linear programming. Finally, one has proposed multiobjective linear programming problem in presence of fuzzy random variables which can be discrete, normal as defined by Shapiro, discrete of type L-R or normal of type L-R. One distinguishes four cases, as the coefficients of objectives are determinist, fuzzy, random or fuzzy random. To solve these problems, one can apply to all the cases, chance constrained programming with fuzzy random coefficients, or combine the techniques of deterministic, fuzzy or stochastic multiobjective linear programming between them, or with chance constrained programming with fuzzy random coefficients

Chance-constrained programming with fuzzy stochastic coefficients

International audienceWe consider fuzzy stochastic programming problems with a crisp objective function and linear constraints whose coefficients are fuzzy random variables, in particular of type L-R. To solve this type of problems, we formulate deterministic counterparts of chance-constrained programming with fuzzy stochastic coefficients, by combining constraints on probability of satisfying constraints, as well as their possibility and necessity. We discuss the possible indices for comparing fuzzy quantities by putting together interval orders and statistical preference. We study the convexity of the set of feasible solutions under various assumptions. We also consider the case where fuzzy intervals are viewed as consonant random intervals. The particular cases of type L-R fuzzy Gaussian and discrete random variables are detailed

Comparaison d'intervalles flous aléatoires

DAi003International audienceOn considère le classement d'intervalles flous aléatoires en liaison avec la comparaison entre probabilités et entre intervalles. On peut étendre conjointement aux intervalles flous une forme de dominance stochastique avec un type d'ordre d'intervalles. Selon l'interprétation des nombres flous, plusieurs extensions de ce type sont possibles. Ce cadre unificateur permet aussi de traiter le cas des variables aléatoires floues. Dans cet article, on s'intéresse à des extensions d'ordres stochastiques aux variables aléatoires floues en voyant les intervalles flous soit comme des distributions de possibilité, soit comme des intervalles de nombres graduels, soit en utilisant des substituts nets des quantités floues

Une extension de la dominance stochastique au variables aléatoires floues du type L-R

DAi002International audienceEn considérant les quatre relations d'ordre entre les bornes d'intervalles de nombres réels, la dominance stochastique du premier ordre, et la relation d'ordre valuée entre deux variables aléatoires, nous proposons une extension directe de ces concepts aux intervalles aléatoires. Ces notions peuvent être spécialisées aux intervalles flous. Ensuite, en nous basant sur ces extensions et sur les relations valuées entre des intervalles flous du type L-R, nous proposons une extension directe de la dominance stochastique aux variables aléatoires floues du type L-R

Une extension de la préférence statistique aux variables aléatoires floues

International audienc

An extension of stochastic dominance to fuzzy random variables

International audienceThis paper proposes a joint extension of interval comparison and random variable comparison methods to the ranking of fuzzy random variables. First, an extension of stochastic dominance to random intervals is proposed. It enables to retrieve some previous ranking methods for belief functions and for fuzzy intervals. On this basis, a direct extension of stochastic dominance to fuzzy random variables is proposed. This approach is just one among various possibilities obtained by combining fuzzy interval and random variable comparison methods

Possibility and Gradual Number Approaches to Ranking Methods for Random Fuzzy Intervals

International audienceThis paper deals with methods for ranking fuzzy intervals in connection with probabilistic and interval orderings. According to the interpretation of a fuzzy interval, various such extensions can be laid bare. In this paper, we especially consider extensions of probabilistic orderings using possibilistic interpretations of fuzzy intervals, crisp substitutes thereof, and gradual numbers. This framework can encompass the comparison of fuzzy random variables: coupling one form of probabilistic comparison with one form of interval comparison induces a method for ranking random fuzzy intervals